Mathematik für Biologen
ISBN
978-3-662-62668-9

Inhaltsverzeichnis

1 Einstieg und grafische Darstellungen von Messdaten

2 Grundlegende Rechenoperationen

3 Rechnen mit Ungleichungen

4 Polynome und Polynomdivision

5 Lineare Gleichungssysteme

6 Funktionen

7 Die Exponentialfunktion und ihre Anwendung in der Biologie

8 Die trigonometrischen Funktionen

9 Differentialrechnung

10 Integralrechnung

11 Gewöhnliche Differentialgleichungen

12 Differenzengleichungen

13 Wahrscheinlichkeitsrechnung

14 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

15 Parameterschätzung

16 Testen von Hypothesen/Ein-Stichproben-Tests

17 Weitere Anmerkungen zur Fehlerrechnung

18 Formelsammlung

 

 

1 Einstieg und grafische Darstellungen von Messdaten

 

In diesem einleitenden Kapitel werden verschiedene Möglichkeiten vorgestellt, wie man bei einem Experiment oder einer Befragung erhobene Stichprobendaten grafisch darstellen kann. Diese Möglichkeiten umfassen Flächen- und Kreisdiagramme sowie die Darstellung der Daten mittels eines Boxplots. Des Weiteren werden unterschiedliche Mittelwertbegriffe sowie die Begriffe der Stichprobenvarianz, der Standardabweichung und der des α-Qunatils einer Datenreihe eingeführt.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

2 Grundlegende Rechenoperationen

 

Das Kapitel über grundlegende Rechenoperationen wiederholt zum einen die aus der Schule bekannten Zahlenmengen und Rechengesetze. Des Weiteren werden Binomial-Koeffizienten, die Fakultät einer natürlichen Zahl sowie die Fibonacci-Zahlen eingeführt. Hierbei werden einige Anmerkungen zur „Entstehung der Null“ und zum Auftreten der Fibonacci-Zahlen in der Natur gemacht. Im Laufe des Kapitels werden auch das Beweisprinzip der vollständigen Induktion eingeführt und der Unterschied zwischen einem direkten und einem indirekten Beweis erläutert. Das Kapitel endet mit Anmerkungen und Hinweisen zur „Fehlerrechnung“.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

3 Rechnen mit Ungleichungen

 

Dieses Kapitel wiederholt einige Rechenregeln beim Umgang mit Ungleichungen und erläutert die hierbei geltenden Besonderheiten anhand von Beispielen. Schließlich werden die Begriffe des Supremums, des Infimums, des Maximums und des Minimums einer beschränkten Menge eingeführt.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

4 Polynome und Polynomdivision

 

Der Leserin/dem Leser wird eine kurze Einführung des Begriffs der Polynome und der hierfür geltenden Rechenregeln gegeben. Des Weiteren wird die Polynomdivision erklärt und anhand von Beispielen konkret vorgeführt.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

5 Lineare Gleichungssysteme

 

Das Kapitel über lineare Gleichungssysteme befasst sich mit Lösungsmethoden derartiger Gleichungssysteme. Hierbei werden Matrizen, Eigenvektoren, Eigenwerte, Determinanten und die Inverse einer Matrix einführt. Des Weiteren werden die bisher bekannten Zahlenmengen um die Menge der komplexen Zahlen erweitert. Zu den komplexen Zahlen wird ein kurzer Exkurs der „Entstehungsgeschichte“ und zum Leben von Leonard Euler gegeben.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

6 Funktionen

 

Das Kapitel befasst sich mit dem Begriff der Funktion. Neben den Begriffen der Konvergenz von Folgen und der Stetigkeit von Funktionen, werden weitere Eigenschaften kurz beschrieben und besondere Klassen von Funktionen eingeführt. Dazu zählt auch, dass die lineare Regressionsgerade und das Lagrange-Polynom für gegebene Punktepaare eingeführt und mittels Beispielen vertieft werden.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

7 Die Exponentialfunktion und ihre Anwendung in der Biologie

 

Dieses Kapitel führt die Exponential- und die Logarithmusfunktion ein. Es werden die Eigenschaften dieser beiden Funktionen hergeleitet und die für sie geltenden Rechenregeln eingeführt.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

8 Die trigonometrischen Funktionen

 

Neben der Einführung der trigonometrischen Funktionen und den mit ihnen verbundenen Rechengesetze wird ein Exkurs zur Zahl π gegeben. Das Kapitel endet mit der Darstellung der trigonometrischen Funktionen mithilfe der Exponentialfunktion und der komplexen Zahl i.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

9 Differentialrechnung

 

In dem Kapitel wird der Begriff der Ableitung einer Funktion eingeführt und die Differentiationsregeln angegeben. Auch werden Eigenschaften von differenzierbaren Funktionen behandelt und Sätze über die Existenz lokaler Extrema einer differenzierbaren Funktion vorgestellt.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

10 Integralrechnung

 

Das Kapitel beginnt mit der Einführung des Begriff des Integrals einer Funktion. Hierbei wird u. a. auch der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung behandelt. Ebenso werden Integrationsregeln angegeben und anhand von Beispielen näher veranschaulicht.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

11 Gewöhnliche Differentialgleichungen

 

Das Kapitel gibt einen Einblick in die Lösungstheorie und konkrete Lösungsansätze für gewöhnliche Differentialgleichungen. Dies umfasst die „Trennung der Variablen“, die „Variation der Konstanten“ sowie „den Ansatz vom Typ der rechten Seite“. Neben Differentialgleichungen n-ter Ordnung werden auch lineare Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung behandelt. Des Weiteren gibt es ein paar Anmerkungen zum Leben und Wirken von Isaac Newton.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

12 Differenzengleichungen

 

Das Kapitel behandelt die Grundzüge der Lösungstheorie von Differenzengleichungen. Neben einigen konkreten Lösungsmethoden wird auch die Lösung von Differenzengleichungen mithilfe der erzeugenden und der exponentiellen erzeugenden Funktion vorgestellt.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

13 Wahrscheinlichkeitsrechnung

 

In dem Kapitel werden die grundlegenden Ideen der Wahrscheinlichkeitsrechnung vorgestellt und wichtige Begriffe eingeführt. Dies umfasst die Laplace-Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten, den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und den Satz von Bayes. Des Weiteren werden Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten vorgestellt und ein paar Anmerkungen zum Leben und wissenschaftlichen Wirken von Pierre-Simon Laplace sowie von Jakob, Johann und Daniel Bernoulli gegeben.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

14 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

 

Die Begriffe einer diskreten und einer stetigen Zufallsvariablen und ihrer dazugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden zu Beginn dieses Kapitels behandelt. Im weiteren Verlauf werden dann einige diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen konkret vorgestellt und ihre Maßzahlen behandelt. Innerhalb der Betrachtungen werden auch historische Anmerkungen zu Carl-Friedrich Gauß gegeben, auf den die Standardnormal- oder Gaußverteilung zurückgeht.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

15 Parameterschätzung

 

Dieses Kapitel ist der Schätzung der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen bzw. von Merkmalzahlen von Zufallsvariablen gewidmet. Hierbei wird der Begriff des Konfidenzintervalls eingeführt und die Wege zur Berechnung bei Erwartungswertschätzungen angegeben. Des Weiteren wird die Student-t-Verteilung vorgestellt und auch Maximum-Likelihood- und Kleinste-Quadrate-Schätzer behandelt. Im Zusammenhang mit den Konfidenzintervallen für das Schätzen von Varianzen erfolgen die Einführungen der Chiquadrat- und der F-Verteilung.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

16 Testen von Hypothesen/Ein-Stichproben-Tests

 

Das Testen von Hypothesen über den Erwartungswert einer annähernd normalverteilten Zufallsvariablen sowie der Binomialtest und der t-Test stehen im Mittelpunkt dieses Kapitels. Es werden die einzelnen Testschritte vorgestellt und jeweils an konkreten Beispielen erneut vorgeführt und vertieft. Das Kapitel endet mit dem Chiquadrat-Test/-Anpassungstest und einigen Anmerkungen zu Klasseneinteilungen und dem Leben und wissenschaftlichen Wirken von G. Mendel.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

 

17 Weitere Anmerkungen zur Fehlerrechnung

 

Dieses Kapitel führt die Überlegungen aus Kapitel 2.4 fort und gibt die allgemeine Formel zur Berechnung des relativen Fehlers einer beliebigen (differenzierbaren) Funktion an. Diese wird dann für die Wurzelfunktion und die Potenzfunktion xn explizit vorgeführt.

zurück zum Inhaltsverzeichnis

 

18 Formelsammlung

 

In dieser Formelsammlung sind die wichtigsten Formeln des Buches noch einmal kurz und prägnant zusammengefasst.

zurück zum Inhaltsverzeichnis